O Homem que Calculava - Os Quatro Quatros

Nossa visita ao suque dos mercadores.

Beremiz e o turbante azul. O caso dos quatro quatros. O problema dos cinqüenta dinares.

Beremiz resolve o problema e recebe um belíssimo presente.

Alguns dias depois, encerrados os trabalhos que fazíamos no palácio do 

vizir, fomos dar um giro pelo suque1 e pelos jardins de Bagdá.

A cidade apresentava, naquela tarde, um movimento intenso, febril, fora do comum. É que, pela manhã, haviam chegado duas ricas caravanas de Damasco. No bazar dos sapateiros, por exemplo, mal se podia entrar; havia sacos e caixas com mercadorias, amontoados nos pátios das estalagens. Forasteiros damascenos, com imensos turbantes coloridos, ostentando nas cinturas suas armas, caminhavam descuidados, olhando com indiferença para os mercadores.

Sentia-se um cheiro forte de incenso, de quife2 e de especiarias. Vendedores de favas discutiam, quase se agrediam, proferindo pragas tremendas em sírio.

Um jovem guitarrista mossulense, sentado sobre grandes sacos de melancia, cantava uma toada monótona e triste:

“Que importa a vida da gente, Se a gente, por mal ou bem, Vai vivendo simplesmente A vida que a gente tem?”3

Vendedores, nas portas de suas tendas, apregoavam suas mercadorias, exaltando-as com elogios exagerados e fantasiosos, no que é fértil a imaginação dos árabes.

- Este rico tecido é digno do nosso emir!

- Amigos! Eis um delicioso perfume que lembra os carinhos de vossa esposa!

- Reparai, ó cheique, nestas chinelas e neste lindo cafetã4 que os djins5 recomendam aos anjos!

Interessou-se Beremiz por um elegante e harmonioso turbante azul-claro que um sírio, meio corcunda, oferecia por 4 dinares. A tenda desse mercador era, aliás, muito original, pois tudo ali (turbantes, caixas, punhais, pulseiras, etc.) era vendido por 4 dinares.

Havia um letreiro, em letras vistosas, que dizia: “OS QUATRO QUATROS”

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:

- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.

- Não é o turbante que me interessa – retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda desse mercador é intitulada “Os Quatro Quatros”. Há nisso tudo espantosa coincidência digna de atenção.

- Coincidência? Por quê?

1 Suque ou suk – rua ou praça em que se localizavam as tendas, os bazares e as lojas dos mercadores.

2 Quife ou kif – produto tirado do cânhamo, que os árabes usam como fumo.

3 Trova de Anis Murad, poeta brasileiro (1904-1962).

4 Túnica debruada. Entre os persas era o “roupão” ou a “camisola”, que usavam habitualmente.

5 Gênios sobrenaturais benfazejos, em cuja existência os árabes acreditavam. Atualmente essa crendice só existe nas classes

incultas. Havia também os efrites que eram gênios maléficos.

- Ora bagdali – retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse quadro recorda uma das maravilhas do Cálculo: podemos formar um número qualquer empregando quatro quatros!

E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz explicou, riscando na areia fina que cobria o chão:

- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever: 44 − 44

- Estão aí quatro quatros formando uma expressão que é igual a zero.

Passemos ao número 1. Eis a forma mais cômoda:

44

44

- Representa essa fração, o quociente da divisão de 44 por 44. E esse quociente é 1. Quer ver agora, o número 2? Podem-se aproveitar facilmente os quatro quatros e escrever:

4

4

4

4 +

- A soma das duas frações é exatamente igual a 2. O três é mais fácil. Basta escrever a expressão:

4

4 + 4 + 4

- Repare que a soma 12, dividida por quatro, dá um quociente 3. Eis, portanto, o 3 formado por quatro quatros.

- E como vai formar o próprio número 4? – perguntei - Nada mais simples – explicou Beremiz – o 4 pode ser formado de várias maneiras diferentes. Eis uma expressão equivalente a 4:

- Observe que a segunda parcela .

4

4 − 4 , é nula, e que a soma fica igual a quatro. A expressão escrita equivale a 4+0, ou 4.

Notei que o mercador sírio acompanhava atento, sem perder palavra, a explicação de Beremiz, como se muito lhe interessassem aquelas expressões aritméticas formadas por quatro quatros.1

Beremiz prosseguiu:

Quero formar, por exemplo, o número 5. Não há dificuldade.

Escreveremos:

4

4 4 4

−

+

4

4x4 + 4

- Exprime esse arranjo numérico a divisão de 20 por 4. E o quociente é 5. Temos desse modo o 5 escrito como quatro quatros.

A seguir passemos ao 6, que apresenta uma forma muito elegante:

4

4

4 4 +

+

- Uma pequena alteração nesse interessante conjunto conduz ao resultado 7:

4

4

44 −

- É muito simples a forma que pode ser adotada para o número 8 escrito com quatro quatros:

4 + 4 + 4 − 4

- O número 9 não deixa de ser também interessante:

4

4 + 4 + 4

- Eis agora uma expressão muito elegante, igual a 10, formada com quatro quatros2:

4

44 − 4

Nesse momento o corcunda, dono da tenda, que estivera a acompanhar a explicação do calculista em atitude de respeitoso silêncio interesse, observou:

- Pelo que acabo de ouvir, o senhor é exímio nas contas e nos cálculos. Dar-lhe-ei de presente o belo turbante azul se souber explicar certo mistério encontrado numa soma, que há dois anos me tortura o espírito.

E o mercador narrou o seguinte:

- Emprestei certa vez a quantia de 100 dinares, sendo 50 a um cheique de Medina e outros 50 a um judeu do Cairo. O medinense pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:

1 Dada a natureza e a finalidade deste livro, admitimos o emprego de sinais matemáticos modernos. É evidente que na época em

que viveu Beremiz, a notação matemática era diferente. (Malba Tahan)

2 Com quatro quatros podemos escrever um número qualquer desde 0 até 100.

Pagou 20, ficou devendo 30

Pagou 15, ficou devendo 15

Pagou 10, ficou devendo 5

Pagou 5, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 50

Repare, meu amigo que tanto a soma das quantias pagas como a dos saldos devedores são iguais a 50. O judeu cairota pagou, igualmente os 50 dinares em quatro prestações, do seguinte modo:

Pagou 20, ficou devendo 30

Pagou 18, ficou devendo 12

Pagou 3, ficou devendo 9

Pagou 9, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 51

Convém observar agora que a primeira soma é 50 (como no caso anterior), ao passo que a outra dá um total de 51. Não sei explicar essa diferença de 1 que se observa na segunda forma de pagamento. Bem sei que não fui prejudicado (pois recebi o total da dívida), mas como justificar o fato de ser a segunda soma igual a 51 e não a 50?

- Meu amigo – esclareceu Beremiz -, isto se explica com poucas palavras.

Nas contas de pagamento, os saldos devedores não tem relação alguma com o total da dívida. Admitamos que uma dívida de 50 fosse paga em três prestações:

a primeira de 10, a segunda de 5 e a terceira de 35. Eis a conta, com os saldos:

Pagou 10, ficou devendo 40

Pagou 5, ficou devendo 35

Pagou 35, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 75

Neste caso a primeira soma é ainda 50, ao passo que a soma dos saldos é como se vê 75; podia ser 80, 90, 100, 260, 800 ou um número qualquer. Só por acaso dará exatamente 50 (como no caso do cheique) ou 51 (como no caso do judeu).

O mercador alegrou-se por ter entendido a explicação dada por Beremiz e cumpriu a promessa feita, oferecendo ao calculista o turbante azul que valia quatro dinares.

Malba Tahan

O Homem que Calculava - A Idade Da Noiva

Do que ocorreu durante a nossa visita ao vizir Maluf. Encontramos o poeta Iezid, que não

acreditava nos prodígios do Cálculo.

O Homem que Calculava conta, de modo original, uma cáfila numerosa. A idade da

noiva e um camelo sem orelha. Beremiz descobre a “amizade quadrática” e fala do rei Salomão.

Depois da segunda prece,1 deixamos a hospedaria do Marreco Dourado, e, seguimos a passos rápidos para a residência do vizir Ibrahim Maluf, ministro do rei.

Ao entrar na rica morada do nobre muçulmano, fiquei realmente encantado.

Cruzamos pesada porta de ferro e percorremos um corredor estreito, e, sempre guiados por um escravo núbio gigantesco (que trazia algemas de ouro no punho esquerdo) fomos conduzidos ao soberbo jardim interno do palácio. 

Esse jardim, construído com fino gosto, era ensombrado por duas filas paralelas de laranjeiras. Para esse jardim abriam-se várias portas, algumas das quais deviam servir ao harém2 do palácio. Duas escravas kafiras3 que se achavam descuidadas colhendo flores, logo que nos avistaram correram entre os canteiros e desapareceram atrás das colunas. Do jardim, que me pareceu alegre e gracioso, passava-se por uma porta estreita, aberta em muro bastante alto, para o primeiro pátio da belíssima vivenda. Digo primeiro porque a residência dispunha de outro pátio na ala esquerda do edifício.

No meio desse primeiro pátio, todo coberto de esplêndido mosaico, relembrava uma fonte com três repuxos. As três curvas líquidas4 formadas no espaço rebrilhavam ao sol.

Atravessamos o pátio, e, sempre guiados pelo escravo das algemas de ouro, fomos levados para o interior do palácio. Cruzamos várias salas ricamente enfeitadas com tapeçarias bordadas com fios de prata, e, chegamos finalmente ao aposento em que se achava o prestigioso ministro do rei.

Fomos encontra-lo recostado em grandes almofadas a palestrar com dois de seus amigos.

Um deles (logo reconheci) era o cheique Salém Nasair, nosso companheiro de aventuras no deserto; o outro era um homem baixo, de rosto redondo, fisionomia bondosa, a barba ligeiramente grisalha. Trajava com apurado gosto e ostentava no peito uma medalha de forma retangular, tendo uma das metades amarela, cor de ouro, e outra escura como bronze.

O vizir Maluf recebeu-nos com demonstrações de viva simpatia.

Dirigindo-se ao homem da medalha, disse risonho: 

- Eis aí, meu caro Iezid, o nosso grande calculista. Este jovem que o

acompanha é um bagdáli que o descobriu por acaso quando jornadeava pelos

caminhos de Allah.5

Dirigimos respeitoso salã ao nobre cheique. Soubemos mais tarde, que se tratava de brilhante poeta – Iezid Abdul-Hamid – amigo e confidente do califa Al-Motacém. Aquela medalha singular ele a recebera como prêmio das mãos do califa, por ter escrito um poema com trinta mil e duzentos versos sem empregar uma única vez as letras Kaf, Iam e Ayn.6

1 Veja glossário: “Prece”.

2 Conjunto de aposentos onde vivem as mulheres: “Harém” significa “proibido”.

3 Infiel, Cristã.

4 Essas curvas são parábolas.

5 Ir pelos caminhos de Alá significa jornadear pelo mundo sem destino certo.

6 São três letras notáveis, de uso corrente do alfabeto árabe. A última correspondente a um som que um latino é incapaz de

pronunciar. É uma espécie de A surdo e gutural, que só o oriental pode reproduzir com perfeição. (B.A.B.)

Custa-me acreditar, amigo Maluf – declarou, em tom risonho, o poeta Iezid -, nas façanhas prodigiosas levadas a termo por esse calculista persa.

Quando os números se combinam, aparecem também, os artifícios de cálculo e as sutilezas algébricas. Ao rei El-Harit, filho de Modad, apresentou-se certa vez um mago que afirmava poder ler na areia o destino dos homens. “O senhor faz cálculos?” – perguntou o rei. E antes que o mago despertasse do espanto em que se achava, o monarca ajuntou: “Se não faz cálculo, suas previsões nada valem: se as obtém pelo cálculo, duvido muito delas.” Aprendi na Índia um provérbio que diz: “É preciso desconfiar sete vezes do cálculo e cem vezes do matemático.”1

- Para pôr termo a essas desconfianças – sugeriu o vizir – vamos submeter o nosso hóspede a uma prova decisiva.

E dizendo isso, ergueu-se da cômoda almofada, e, tomando delicadamente Beremiz pelo braço, conduziu-o até uma das varandas do palácio.

Abria essa varanda para o segundo pátio lateral que, no momento, desbordava de camelos. E que lindos espécimes! Quase todos pareciam de boa raça. Avistei, de pronto, dois ou três brancos, da Mongólia, e vários carehs, de pelo claro.

- Eis aí – disse o vizir – a bela partida de camelos que comprei ontem e que pretendo enviar, como dote, ao pai de minha noiva. Sei precisamente, sem erro possível, quantos são!

E o vizir para tornar mais interessante a prova, enunciou, em segredo, ao ouvido de seu amigo Iezid, o poeta, o número total das alimárias.

- Quero agora – prosseguiu, voltando-se para Beremiz – que o nosso calculista diga quantos camelos se acham no pátio, diante de nós. 

Fiquei apreensivo com o caso. Os camelos eram numerosos e confundiam- se no meio da agitação em que se achavam. Se o meu amigo, por um descuido, errasse o cálculo, a nossa visita teria como conseqüência o mais doloroso fracasso. Depois de correr os olhos pela irrequieta cáfila,2 o inteligente Beremiz disse:

- Senhor vizir! Quero crer que se encontram, agora, neste pátio 257 camelos!

- É isso mesmo – confirmou o vizir. – Acertou. O total é realmente esse:

257! Kelimet-Uallah.3

- E como chegou a esse resultado tão depressa, e com tanta precisão? – indagou, com indisfarçável curiosidade, o poeta Iezid.

- Muito simplesmente – explicou Beremiz. – Contar os camelos, um por um, seria a meu ver, tarefa sem interesse, do valor de uma bagatela. Para tornar mais interessante o problema, procedi da seguinte forma: Contei primeiro todas as pernas e em seguida as orelhas: achei, desse modo, um total de 1.541. A este total juntei uma unidade, e dividi o resultado por 6. Feita essa pequena divisão, encontrei o quociente exato: 257!

1 Era essa a denominação dada a falsos astrólogos e embusteiros. Veja no livro Didática da Matemática, Vol I, a origem da

palavra “Matemática”.

2 Grupo numeroso de camelos.

3 “Palavra de Deus.” – Veja glossário.

- Pela glória da Caaba!1 – clamou, com alegria, o vizir. – Isso tudo é originalíssimo e estupendo! Quem pudera imaginar que esse calculista, para tornar mais interessante o problema, fosse capaz de contar todas as pernas e orelhas de 257 camelos!

E repetiu com sincero entusiasmo:

- Pela glória de Caaba!

- Devo dizer, senhor vizir – retorquiu Beremiz -, que os cálculos se tornam às vezes, complicados e difíceis em conseqüência do descuido ou da falta de habilidade do calculista. Certa vez, em Khói, na Pérsia, quando vigiava o rebanho de meu amo, passou pelo céu um bando de borboletas. Um pastor, a meu lado perguntou-me se eu poderia contá-las. “São oitocentas e cinqüenta e seis!” – respondi. “Oitocentas e cinqüenta e seis!” – exclamou o meu companheiro, como se achasse exagerado aquele total. Só então verifiquei que por descuido havia contado não as borboletas, mas, suas asas. Feita a necessária divisão por 2, encontrei a seguir, o resultado certo.

Ao ouvir o relato desse caso, expandiu-se o vizir em estrepitosa risada que soava, aos meus ouvidos, como se fora uma música deliciosa. 

- Há nisso tudo – interveio, muito sério, o poeta Iezid – uma particularidade que me escapa ao raciocínio. A divisão por 6 é aceitável, uma vez que cada camelo tem 4 patas e 2 orelhas e a soma (4 + 2) é igual a 62. Não compreendo, porém, é a razão que o levou a juntar 1 ao total antes de dividi-lo por 6!

- Nada mais simples – acudiu logo Beremiz. – Ao contar as orelhas, notei que um dos camelos era defeituoso (só tinha uma orelha). Para que a conta ficasse certa era preciso acrescentar 1 ao total obtido.

E voltando-se para o vizir perguntou:

- Seria indiscrição ou imprudência de minha parte pergunta-vos, ó vizir, qual a idade daquela que tem a ventura de ser vossa noiva? 

- De modo algum – respondeu, risonho, o ministro. – Astir tem 16 anos! E acrescentou, sublinhando as palavras com um ligeiro tom de desconfiança:

- Mas não vejo relação alguma, senhor calculista, entre a idade da minha noiva e os camelos que vou oferecer, de presente, ao meu futuro sogro!

- Desejo apenas – refletiu Beremiz – fazer-vos uma pequena sugestão. Se retirardes da cáfila o tal camelo defeituoso (sem orelha) o total passará a ser de 256. Ora, 256 é o quadrado de 16, isto é, 16 vezes 16. O presente oferecido ao pai da encantadora Astir tomará, desse modo, feição altamente matemática: O número de camelos que formam o lote é igual ao quadrado da idade da noiva!

Além do mais, o número 256 é potência exata do número 2 (que para os antigos é número simbólico), ao passo que 257 é primo.3 Essas relações entre os números

1 Veja glossário.

2 Se os camelos fossem, por exemplo, em número de dez, o total de pernas e orelhas (seis para cada um), seria é claro, 60. Importa,

pois, dizer que o número de camelos é obtido dividindo-se por 6 o número total de pernas e orelhas. (B.A.B.)

3 Número primo (entre os números naturais) é aquele que só é divisível por si mesmo e pela unidade. São primos os números 2, 3,

5, 7, 11,13, etc.

quadrados são de bom augúrio para os apaixonados. Há uma lenda muito interessante sobre os números quadrados. Quereis ouvi-la?

- Com muito prazer – respondeu o vizir. –As lendas famosas, quando bem narradas, são como brincos de ouro para os meus ouvidos.

Depois de ouvir palavras tão lisonjeiras, o calculista inclinou a cabeça, num gesto de agradecimento, e começou:

Conta-se que o famoso rei Salomão,1 para demonstrar a finura e a sabedoria de seu espírito, deu à sua noiva, a rainha de Sabá – a famosa Belquiss – uma caixa com 529 pérolas. Por que 529? Sabe-se que 529 é o quadrado de 23, isto é, 529 é igual a 23 multiplicado por 23. E 23 era, exatamente, a idade da rainha. No caso da jovem Astir, o número 256 virá substituir, com muita vantagem, o número 529.

Todos olharam, com certo espanto para o calculista. E este em tom calmo e sereno, prosseguiu:

Vamos somar os algarismos de 256. Obtemos a soma 13. O quadrado de 13 é 169. Vamos, agora, somar os algarismos de 169. A soma dos algarismos de 169 é 16. Existe, portanto, entre os números 13 e 16, uma curiosa relação que poderia ser chamada a “amizade quadrática”. Realmente, se os números falassem, poderíamos ouvir o seguinte diálogo. O Dezesseis diria ao Treze:

- Quero prestar-te uma homenagem, meu caro. O meu quadrado é 256 e a soma dos algarismos desse quadrado é treze.

O Treze responderia:

- Agradeço a tua gentileza, meu amigo, e quero retribuí-la na mesma moeda. O meu quadrado é 169 e a soma dos algarismos desse quadrado é 16. 

- Parece-me que justifiquei cabalmente a preferência que deve ser dada ao número 256 que excede, por suas singularidades, o número 257.

- A sua idéia é bastante curiosa – concordou, prontamente, o vizir -, e vou executá-la, muito embora venha sobre mim pesar a acusação de plagiário do grande Salomão!

E, dirigindo-se ao poeta, Iezid, rematou:

- Noto que a inteligência desse calculista não é menor que a sua habilidade em descobrir analogias e inventar lendas. Muito acertado andei no momento em que resolvi convidá-lo para meu secretário.

- Sinto dizer-vos, ilustre Mirza2 – tornou Beremiz -, que só poderia aceitar o vosso honroso convite se aqui houvesse também lugar para o meu bom amigo Hank-Tade-Maiá – o bagdali, que ora se vê desempregado e sem recursos.

Fiquei encantado com a delicada lembrança do calculista. Ele procurava desse modo, atrair a meu favor a valiosa proteção o poderoso vizir.

- É muito justo o seu pedido – condescendeu o vizir. – O seu companheiro Hank-Tade-Maiá ficará exercendo aqui as funções de escriba, com o ordenado que lhe couber.

Aceitei, sem hesitar, a proposta, exprimindo logo ao vizir, e, também ao bondoso Beremiz, o meu reconhecimento.

1 O leitor encontrará, no glossário, o relato surpreendente da morte de Salomão.

2 O vocábulo persa mirza quer dizer literalmente “nascidos em mir”, isto é, nobre, fidalgo. Beremiz por ser de origem persa, dava

ao cheique o título honroso de mirza.

Malba Tahan

Desemprego

A lei não exige que a empresa justifique a demissão do empregado, contudo, em algumas situações o empregado é protegido pela lei da demissão sem motivo justo. Esse é o caso das gestantes, cipistas, dirigentes sindicais, dentre outros.
Além desses casos clássicos, também são protegidos por força da SÚMULA 443 do TST, empregados portadores de doença grave (câncer ou AIDS por exemplo) ou condição estigmatizante (Novamente AIDS, vitiligo, hanseníase etc) desde que seja do conhecimento da empresa:

N.º 443. DISPENSA DISCRIMINATÓRIA. PRESUNÇÃO. EMPREGADO PORTADOR DE DOENÇA GRAVE. ESTIGMA OU PRECONCEITO. DIREITO À REINTEGRAÇÃO. Presume-se discriminatória a despedida de empregado portador do vírus HIV ou de outra doença grave que suscite estigma ou preconceito. Inválido o ato, o empregado tem direito à reintegração no emprego.(Inclusão dada pela Resolução TST 185 de 14.09.2012).

Desemprego

Reforma da Previdência